《周髀算经》中关于勾股定理的证明

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总有人说《周髀算经》只给出了“勾三股四弦五”的特例而没给出证明，这其实是古文没读懂。

商高曰：“数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之外，半其一矩。环而共盘，得成三、四、五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”

文本引用自：（https://ctext.org/zhou-bi-suan-jing/juan-shang/zhs）

对于勾股定理，其实商高就已经给出证明了。“既方之外，半其一矩，环而共盘”，说的就是对于直角三角形对应的矩形为一矩，半其一矩就是直角三角形的面积是矩形的一半。环而共盘，这个略有些模糊，因为在这句里不知道怎么盘的，这是因为古文为了节约书写材料，在保持无歧义的情况下精简到极致，所以能从上下文推出的内容和常识性内容是不会记录的。环而共盘怎么盘要看其后面的内容。“两矩共长二十有五，是谓积矩”，总矩长25，这是斜边形成的矩的面积，所以盘法就确定了，是以斜边为外边形成的正方形。




我就偷懒用一张古书上的图，但是这个图的画法和勾股弦的数值无关，只要知道勾股弦所确定的直角三角形（既方之外）能通过半其一矩获得即可。

这里又出现一个问题，共盘后总共有四个直角三角形，那么两矩是怎么回事呢？其实把图画出来就明确了，“半其一矩”的直角三角形共盘后有四个，显然和两矩不符，但既然前文说的是“共盘”，那么“共”字并非可有可无，它代表着共盘后的四个直角三角形是一个整体，算作一矩。而另外一矩则只能是边（股-勾）所形成的正方形。四个直角三角形的面积和股勾相减得到的正方形面积为两矩，两矩和为25，“是谓积矩”：这就是弦的积矩。这样我们就得到了公式：4 x半矩（勾股）+ 积矩（股-勾）= 积矩（弦），因式展开一下自然就得到：积矩（勾）+积矩（股）=积矩（弦）。

前面这段写错了，因为我把“积矩”忽略掉了。“积”应取积累堆放之意，所以积矩才是4个直角三角形的半矩与（股-勾）的矩之和。那么译文其实应该是勾的矩与股的矩两矩之和为25，这就是4个直角三角形的半矩与（股-勾）的矩的和。换句话就是通过将4个“勾三股四”的半矩“环而共盘”出一个以弦为边的正方形后，可以得到被文本省略的式子：矩（弦）= 4 x半矩（勾股）+ 矩（股-勾）。而后面“两矩共长二十有五，是谓积矩”，“两矩”应该是“勾矩”和“股矩”，特地强调“积矩”而不是弦矩，这是在说明“勾矩+股矩=弦矩”的同时说明“勾矩+股矩=积矩算式”，古文里不会有废话，在本该是结论的部分写了中间过程“积矩”而非结论“弦矩”只能是因为要说明因式展开的过程。因此《周髀算经》中是通过“弦矩”等于“积矩”，而“积矩”等价于“勾矩与股矩之和”来证明“勾矩与股矩的和等于弦矩”这个定理的。

认为《周髀算经》没证明勾股定理的一定要仔细研究一下古文。

我以前也是认为中国只有归纳但没有演绎，无法形成完整的逻辑推导体系。但是今天仔细读了《周髀算经》中这段文字后，我要承认我之前的观点错了。定理证明即为归纳演绎，由测量数据总结规律此为归纳，证明规律并应用于未知，举一反三，此为演绎。《周髀算经》不但给了直角三角形的定义（既方之外，半其一矩）直角三角形是矩形的一半，这样完成了归纳，而后其对勾股定理的证明得到的定理可应用于所有直角三角形，形成演绎。这就具备了科学所需的基本要素，说古代中国没有逻辑体系的可以歇了。