中文版《几何原本》内容解读

本帖不讨论其他，只讨论几何原本所构建的数学体系本身，也相当于是我的一些内容解读。
先介绍一下我所使用的版本，文件名为《几何原本.十五卷.利玛窦.伟烈亚力.口译.徐光启.李善兰.笔受.清同治四年曾国藩署检.金陵刊本.pdf》，目前流行的几个版本我都比对过，就这个版本最完整，文字图片都非常清晰，甚至可以直接当教材。
应该会不断更新…
20230103
首先上一下这十五卷各自都在讲什么
卷一（45页）论三角形，界说三十六则、求作四则、公论十九则、计四十八题
卷二（19页）论线，界说二则、计十四题
卷三（44页）论圆，界说十则、计三十七题
卷四（18页）论圆内外形，界说七则、计十六题
卷五（35页）论比例，界说十九则、计三十四题
卷六（73页）论线面之比例，界说六则、计三十三题
卷七（29页）论数，界说二十二则、计四十一题
卷八（21页）计二十七题
卷九（23页）计三十六题
卷十上（55页）界说十一则、计四十八题
卷十 中（47页）界说六则◇续上◇四十九至八十五题，计三十七题
卷十下（52页）界说六则，续上，八十六至一百十七题，计三十二题
卷十一（52页）论体一，界说二十九则、计四十题
卷十二（42页）论体二，计十八题
卷十三（42页）论体三，计十八题
卷四（13页）论体四，计七题
卷十五（10页）论体五，计七题

重新整理后就是这个情况



卷一 三角形
几何原本卷一，论三角形

第一部分是界说36则，首先，本书对界说的定义进行了讲解。
凡造论，先当分别解说论中所用明目，故曰界说。
界说用现在的话来说，其实就相当于定义，当然它比定义的概念要宽泛一些。
接下来就有意思了：凡历法地理乐律算章技执工巧诸事有度有数者，皆依赖十府中，几何府属。
也就是说，几何所涉及的可不仅仅是几个面和体的定义和计算，是包括了历法地理乐律算章技执工巧这么多内容的。
而在同一段内，接下来就界定了点引为线、线展为面、面积为体的三度，那么如此说来，前面的历法地理乐律算章技执工巧等等，也是可以沿用这点线面体三度概念的。
当然目前来说，我们还没有看到历法地理乐律算章技执工巧等内容在点线面体三度概念上的应用，所以这个方面先跳过，看后面的。

第一界，点者无分。无长短广狭厚薄。这句话很多人都拿出来跟翻译版对比过，高下立判。
下面有一句注解：凡图，十干为识，干尽用十二支，支尽用八卦八音。对于这一句，微博作者墨者几何据此认定这本书的原作者应当是春秋战国时期的人，因为明朝这会儿更流行的会是二十八星宿，而不是干支八卦八音。
第二界，两句：线有长无广，线有直有曲。在此两句之间，还有追加的场景讲解：假设有光照在平面上，有光与无光之间，容不下任何一物，这个就是线。这是什么意思呢？这就是说，线的基础定义，是从生活中来的，是对日常生活中的各种现象所进行的抽象的总结。后面接着又多加了一句：真平真圆相遇，其遇处止有一点，行则止有一线。这句话讲的有可能是切点及切线，但是没有明确的概念界定，很明显，这一句话是跟着光照平面的场景继续推演下来的。
第三界，凡线之界是点。注解：凡线有界者，两界必是点。什么意思呢？这句话是说，如果线有界，那么它的界一定是点。那么反推过去，线当然也可以没有界。这个跟现在的“直线”和“线段”概念十分接近，但是现代的界定却是不准确的，因为还有“曲线”这个东西，想一想，曲线上可以有界吗？那当然是可以的。所以从这方面来说，现代对“直线”和“线段”的定义是不够准确的。线就是线，它是可以无限延伸的，它之所以在各种图例里没有无限延伸，是因为我们只需要它显示这么长就够了，因此人为给它定了界。
顺便科普一下“界”这个字，界的字形是一块田加一个着甲的人，意会一下，一个着甲的人指着一块田说，这块田是我的，你们不许过来，于是这田地就出现了有属无属之界，这界你看不到，但它又切切实实存在，是一种无形的划分。
第四界，凡直线止有两端，两端之间上下更无一点。这句话是说，直线只有两个方向，这两个方向之间，直线之外是没有其他点的。接着又讨论了直线与曲线，即两点之间直线最短。直线如果稍微弯曲，就会绕路，就会比直线更长。下面一句也很有意思，直线之中点能遮两界，凡量远近皆用直线。后一句好理解，要测量远近当然用直线距离。那前一句是什么意思呢？我们结合第三界“线之界是点”来看，这句话里既然出现了“界”，且是“两界”，则说明，我们已经给一条无限延长的直线定了两个界，设为甲和丙，那么在这个有两界的直线的中间取一个中点乙，这个乙点就能遮甲和丙，所谓的遮，就是指，甲看不见丙，丙也看不见甲。强调这个“遮”的意思，事实上也是在强调甲乙丙三个点的位置顺序，不是甲丙乙也不是丙甲乙，因为甲和丙就不挨着。
从这些解读中我们可以看出，中文版这些内容都是来自于生活实践。有意思的是，这一界在翻译版里是没有的。
第五界，面者，止有长有广。一体所见为面。凡体之影，极似于面（无厚之极）。想一线横行，所留之迹，即成面也。这一界，从好几个方面来界定面的含义。第一句是面的本体性质，第二第三句，从体坍缩成面来定义面，第四句，从线展横行成面。注意，这里对“面”的定义都是从现实生活中来的，套句老话叫做“从现实中来”。
第六界，面之界是线。通过前面对线的解释，我们可以联想到，面，如同线可以向长的方向无限延展一样，它也是可以向长和广两个方向无限延展的。所以，如同线一样，我们也需要给面一个“界”，即线。和线一样，面并不一定有界，它的界是我们为了研究它，才给它人为定了界，这是一种人的行为。
第七界，平面，一面平，在界之内。平面中间线能遮两界。平面者，诸方皆作直线。第一句看似是废话，实则不是，这是对“平面”进行界定，首先框定，在界之内的，平的，才能叫平面。不平的自然不叫平面，而无界的，也不能叫平面。看起来这个界定似乎违背了面的含义，但是我要再次强调，《几何原本》所界定的内容，都是为了方便人类的研究，我当然可以将平的面定义为平面，将有界的平面定义为界平面，但一个平的无限延展的面在生活中究竟有什么意义呢？考虑中国古人总是惜字如金的风格，直接将有界的平的面定义为平面，才是中国人这种风格的体现。
平面中间线能遮两界，这句也好理解，当然如果要论及这句话界定得是否精准，还得看“中间线”该怎么定义，但这里并没有对中间线作界定。
平面者，诸方皆作直线。这句话似乎有误，我认为应当是“方面者，诸方皆作直线”，但看几个版本都是“平面者”。后面又有图解：试如一方面，用一直绳，施于一角，绕面运转，不碍不空，是平面也。这句图解似乎更印证了我的看法。不过这句话也不算太重要，等整本书讲完再看有没有必要来细究这一点吧。
我们看到，这里就不像讲线那里的“凡线之界是点”一样，来一句“凡面之界是线”，它说的是“面之界为线”。其实“凡面之界是线”也完全没错，但为什么不这么说呢？因为“点者无分”，这里的分，理解成分类也未尝不可，点就是点，只要在直线上取一点，它就一定能被设定为线之界，但线不一样，线还分为曲线直线，曲线还有各种分类如螺旋线抛物线什么的，各种情况全部要分类讨论，那来一句“凡面之界是线”又有什么意义呢？这不就成了一句无用的废话吗？
图解下方另有一句：若曲面者，则中间线不遮两界。可反推前面的“直线之中点能遮两界”，中的遮，确实就是指：甲看不见丙，丙也看不见甲的意思。

第八界，开始讲角。平角者，两直线于平面纵横相遇交接处。这句我们先忽视“平角”这个提法，先看到前面详细讲过的“平面”（平面是平的有界的面）。那有人可能要问，如果两直线纵横相遇交接的地方在平面之外怎么办呢？这里要注意一点，平面是人为界定的，我把原有的平面向一方延展，在原平面旁边再界定一个平面二号，那这个平面二号是不是仍旧是平面？那这个定义还是没有问题，对吧？接下来的问题就有意思了，因为我们现在对“平角”的定义是180度的角。而本书对平角这一条的图例中很明显看到，它是有各种角度的，并非一条直线。所以，此平角非彼角也。
凡言甲乙丙角，皆指平角。也就是说，一个角，但凡能够使用甲乙丙角这个说法，就说明它一定是平角，也就是组成它的两条线甲乙和乙丙一定是直线，且甲乙与乙丙一定不能平行相遇形成一条直线，必须是纵横相遇。（不过后文讲解圆的时候，也有曲线角的存在，所以这句话放在这里让我很是不解）
所谓角，止是两线相遇，不以线之大小较论。这里说得很明确不管组成角的两条线怎么样，我们只看两线相遇所交之角。注意这里说的是角，而不是前面所定义的平角，因此这里的角还真未必是平角，也不一定是后面所说的直线角。
第九界，直线相遇作角，为直线角。平地两直线相遇为直线角。这两句很有意思，一个有平地一个没有平地，但我们知道二者都是对的，因为根据我们现有的知识，两直线相遇就隐含了由此两直线能够形成一个平面，但是目前来说，本书还没有讨论到这个部分。（说点题外的个人猜测，这本书的作者很有可能并非一个人，而是历朝历代以来一代一代人不断增补编纂的结果，所以这两句就差了两个字的界定，很有可能就是两个不同的人写的，且“直线相遇作角，为直线角”这句为后人所作。再看上面那句“凡言甲乙丙角，皆为平角”，确实很像是比较古早的人写的，所以并没有考虑到杂线角的问题）
后面又说，本书止论直线角，即直线相遇所作之角。但角有三种，为直线角、曲线角（两曲线相遇所作之角）、杂线角（一直线一曲线相遇所作之角）。知乎上曾有人与程碧波争论曲线角杂线角究竟是否涉及三维空间还是仅在同一平面内，我个人的看法是光一条曲线就有可能存在于多个平面之内，更何况更多的线。不信的话可以试着将一条棉线在桌面上盘成蚊香状，然后拎其中一端往空中提起，整条棉线也形成一条曲线，但它存在于一个平面内吗？

待续

角青龙-几何原本的原本

我看过角青龙说的，也能参考下。

引用 @ 幻魂月华
我说得很明确了，不谈其他，只谈数学体系。 但你如果看完我的解读，你应该看得出我的观点。

我看您写的了，理解您的意思，期待更新

强烈坚决支持月姐的工作

2023年1月9日更新第一卷10-13界
第十界，直线垂于横直线之上，若两角等，必两成直角，而直线下垂者，谓之横线之垂线。
垂线这个定义，部分依据了现实生活而来，试想一个画面，有一面墙，墙角与地面平，一条墨线坠一重物直下，在墙面上沾一条直下的墨痕，有人取矩尺来量，墨痕与其两边的地平墙缝所形成的夹角（刚好前面把角给定义完了）相等。这就是所谓的“直线（墨线所成墨痕）垂（坠重物）于横直线（墙角缝）之上，若两角（墨痕与墙角缝所成之角）等，必两成直角，而直线下垂者（墨线所成墨痕），谓之横线之垂线。”
下一句：量法常用两直角及垂线，垂线加于横线之上，必不作锐角及钝角。
这里提到“量法”，说明垂线的使用需要有测量仪器，不然也称不上“量法”，因为其中出现了一个概念叫做“等”。等这个字很有意思，早在先秦之前就有，其为会意字，指寺（古代官署机构）中整齐排列之竹简，这其中就隐含了一个相并排列、以此简度彼简的意味。因此，有等必有度，有度才能谈到等，而“度”即为“测量”，又或是“测量所得之量或数”。那么测量仪器是什么？自然只能是“矩尺”了。有人大概就会想到，那前面半句的解读里不是也出现了“矩尺”吗？这不是重复定义吗？这倒不是，因为前面只不过是我具象出来的一个使用画面，真实世界中用来确认“两角等”的工具肯定不会是矩尺，按照我的理解，应当是两根钉起来可以自由转动但没有刻度的木棍，先以双木棍开合程度来测量其中一角，随后将此双木棍的开合程度固定，定此开合程度为“度”，以此度再去测量另一个角，三者俱等，则两角等（这个方法就是之后会讲解的第一卷公论十九则里的第一论，设有多度，彼此俱与他等，则彼与此自相等）。
所谓量法常用两直角及垂线，最容易得到的“直角”自然是矩尺，矩尺的两个直角合并且齐平，就形成了横线与垂线。在横线上作垂线，这其中所出现的角也只能是直角，没有锐角和钝角。
后面一段图例，讲的是横线和垂线能够互为垂线，只要将那半段垂线延长，则上下两角肯定也都是直角，按定义如此也可得互为垂线。
后面注解了一段小字也很有意思，“如今用矩尺一纵一横互相为直线，互相为垂线”。前面定义的垂线，是“横直线上垂一垂线”，那这里为什么又不说互相为“横直线”和“垂线”？原因在于前面说到的，“互为垂线”，则原先的横直线就变成了竖直线，那索性把纵横两字去掉，叫做“互相为直线、互相为垂线”，事实上我们也知道，并没有必要给这里的“直线”重新起个名字，我们最常用的说法就是甲乙直线为丙丁直线的垂线。
后面两句是正反两种使用方法。凡直线上有两角相连，是相等者，定俱直角，中间线为垂线。反用之，若是直角，则两线定俱是垂线。即甲乙直线上取一点丙，从丙随意作线出去成丙丁直线。若角甲丙丁与角乙丙丁相等，这两个角都是直角，丙丁就是甲乙的垂线。若甲丙丁与乙丙丁均为直角，则甲乙与丙丁互为垂线。

第十一界与第十二界一起说，凡角大于直角，为钝角。凡角小于直角为锐角。通上三界论之，直角一而已，钝角锐角其大小不等，乃至无数。
是后凡指言角者，俱用三字为识，其第二字即所指角也。
后面的都很好理解，直角只有一个角度，而钝角与锐角的度数有无数种数值。“甲乙丙角”这个标识，说明其中的乙为角。这个用法在后面圆那一卷里，也曾用在圆弧角（属杂线角）上，说明“凡言角者”的这个角，是包含了直线角、曲线角、杂线角在内的。
那么一个问题，为什么“凡角大于/小于直角”这里的角，不直接说明为直线角？虽然前面第九界说过本书只论直线角，但讲圆的那卷也提到了曲线角，所以事实上本书也并没有仅限于直线角。那么现在就要谈到跟“等”类似的概念，那就是“大于”和“小于”。要说明的是，凡有“大/小于”就一定得有“度”，也就是“测量”，因为只有测量并抽象成为“度”有了“数”才能用来作比较，那么这个命题中就一定隐含了“可度”即“可测量”的意思，而曲线角和杂线角事实上没法测量大小，它们并不能和直线角来比较大小，因此这里的角，已经通过“大于/小于”这两个字限定了直线角。（这个内容在后面第五第六卷里略有阐述）
当然以上这些别扭的地方或者说在我们现在看来阐述还不够到位的地方，正说明了编者本人也并没有多么了解《几何原本》的精义，否则他应当用更精准的语句。没错，我埋汰的就是徐光启。

第十三界，界者，一物之始终。这句话太精髓了，这不是在讲几何原本里的界定，而是在告诉你，要如何把真实世界给抽象成几何原本里的数学模型。如何抽象？就是两个字“定界”。一物之始终这句话，就是用人为定界的方式，把一个个物体从现实世界中抽离成为数学体系中的研究对象。譬如一棵自然界存在的树，我们将树干抽象为圆柱体，定上界为第一根树枝的位置横截面，下界为与地齐平横截面。再将树根抽象为不规则形体，将树枝抽象为细圆柱体，将树叶抽象为薄面等等。
这里提到了“线为面之界”这个在前面被我称为无用的废话的界说，那是不是打了我自己的脸呢？倒也不是，因为这句话是对“界”这个定义的扩充概括，是《几何原本》中所论“三界”的重要组成部分。更有意思的是后面“体不可为界”这个说法。现在设想一下，如果按照现行体系的一维二维三维继续拓展至四维五维空间，那么体是否会成为第四维的界？那是很有可能的。但是这里为什么又要这么说？那是因为“体为四维之界”这个设定不是基于现实世界来的，无法在现实世界得到印证。而整个《几何原本》的体系，本身就是对现实世界进行抽象所得的数学体系，是这个数学体系的开山鼻祖，因此其中一切由此而始的界说都应当是现实世界的总结，而不能跳脱现实世界而存在。

辛苦了，加油

2024年1月14日更第十四界到第二十八界
第十四界，上一界讲解了“界”，这一界讲的就是“界中之形”。
或在一界或在多界之间，为形。一界之形，如平圆、立圆等物，多界之形，如平方、立方，及平立三角六八角等物。
从这一界的提法来看，“形”并不仅限于平面，立体的三维的也叫形。这里对形的分类，只看这个形有多少个界。平圆当然是指平面的圆，立圆指的则是球体，这两个很好理解，确实只有一圈或表面一层的一界。平方应该指正方形，立方是立方体，平立三角可能是指三棱柱体（个人觉得平立三角的提法更精准），六八角个人猜测是六面共八角的立体形。
顺便提一个不算界说，但本卷比较常用的说法叫“形等”，这个说法出自卷一第35题。“形等”简单来说就是“面积相等”。原文这么写：题言此两形等，等者不谓腰等角等，谓所函之地等，后言形等多仿此。（这里又出现一个“函”字，让我想到了一个词“函数”）形等这个说法很明显仅限于平面形，因为所函之地等这个讲法跟立体形没什么关系。所以才放到了第一卷的题说里。

第十五界，圆者，一形于平地居一界之间，自界至中心作直线俱等。外圆线为圆之界，界内形为圆。一说圆是一形，乃一线屈转一周复于元处所作。
这里又出现了一个“平地”，所以我认为这应当是一个比较早的定义，但这个定义更精准，个人认为甩后文那个“一线屈转”版本两三条街。首先，圆是一界之形，其次，圆在一平面（平地）内，界至中心作直线（长度）俱等。
现行的圆的定义，用的是后面那个版本的魔改版本，即“平面内，绕定点以定长绕一圈所形成封闭曲线是圆。”
这就看到区别了吧，现行版本里，圆是那条线。而几何原本这里，那条外圆线叫做圆之界，界内的形才叫圆。
先放下这点区别，继续往后看。

第十六界 圆之中处为圆心。圆之中处即圆之中的位置，中这个字在中国是个很重要的概念。

第十七界 自圆之一界作一直线过中心至他界为圆径。径分圆两平分。
这里又出现一个圆之一界、他界的概念，但圆不是只有一个界嘛，这又怎么理解呢？首先，圆当然只有一个界，整个外圆线都是圆的界，在其上没有任何一个点的时候，它自然只能被视为同一个界，我现在在圆之界上取一点甲，甲点是不是圆之界？不是。那甲点是什么？我说，它其实是圆界之界，虽然一条首位相连的外圆线谈不上什么界不界，但“点为线之界”这点是没问题的，我们不妨就将这个点视为外圆线之界，毕竟数学原本就只是设计出来的一个工具，工具可以按照我们的需要来设计使用，这样是不是就合理了？所以圆之一界完整来说就是“外圆线上取一点视之为界”，再从这一点作直线过中心的这个动作，正是后面会讲解到的“求作一”，这便由两个点作出了一条直线，即圆径。
后一句简单，圆径把圆分成相等的两份。

第十八界 径线与半圆之界所作形，为半圆。这个好理解，形在界之间，径线与半圆这两个界已经首尾相接，足以形成半圆这个两界之形。

第十九界，在直线界中之形为直线形。这依然是以“界中之形”的方式来下的定义。我们之前讲第三界时，有一句“凡线有界者，两界必是点”，说明了什么呢，说明直线界的定义，就是给一条直线，在这条直线上取两个点为界，直线界正是专指这两点之间的直线。这就相当于现代概念里的线段。

第二十界到第二十二界一起过一下
在三直线界中之形，为三边形。
在四直线界中之形，为四边形。
在多直线界中之形，为多边形。五边以上俱是。
这是一套很有章法的叙述体系，以前在上学的时候就很奇怪，为什么三角形叫“角”形，而四边形叫“边”形，在这里看到“三边形”的说法，让我觉得释然了，原来并不是没有，而只是不教而已，甚至是漠视了。

第二十三界至第二十八界也放一起说，说的都是三边形。
三边形三边线等，为平边三角形。
三边形，有两边线等，为两边等三角形。（或锐或钝）
三边形，三边线俱不等，为三不等三角形。
三边形，有一直角，为三边直角形。
三边形，有一钝角，为三边钝角形。
三边形，有三锐角，为三边各锐角形。
凡三边形，恒以在下者为底，在上二边为腰。
前三条突兀地出现了“三角形”，我总感觉中间缺了一条界说，叫做“凡三边形有三角，凡三角形有三边”。当然这是现实生活中能总结出来的，我就不多纠结了。反正对我来说，三角形和三边形基本上是同一个概念。不过上面这几个界说，都是既提边又提角的，如平“边”三“角”形，三“边”钝“角”形。
最后一句，凡三边形，恒以在下者为底，在上二边为腰。这也是一个约定俗成。我反复强调的一点就是，数学只是个工具，你怎么用它方便，你就怎么去设定它，这才是正理。

第二十九界至第三十三界，都讲四边形。
四边形，四边线等而角直，为直角方形。
直角形，其角俱是直角，其边两两相等。
斜方形四边等，但非直角。
长斜方形，其边两两相等，俱非直角。
已上方形四种，谓之有法四边形。四种之外，他方形，皆谓之无法四边形。
前面这四种方形，在现代体系里分别叫正方形，长方形，菱形，平行四边形，就像前面的三角形也都有现代体系里的名号（除了那个三不等三角形）。
个人对此的看法是，名字如何其实并不重要，重要的是通过这个名字能够确定它的确切形状。从这点来看，都还不错。我们现在在几何原本的体系里，自然应按照几何原本给出的名字来进行。
其实我对直角形这个名字本来也有些疑虑，不过仔细想想，直角形三个字确实已经够用了，就是指所有的角都是直角的形，而按照所有角都是直角的规则作图，作出来的最终还是一个长方形，并没有其他可能性。

第三十四界 为平行线。两直线于同面行至无穷，不相离亦不相远，而不得相遇，为平行线。
这段话也挺有意思的，首先对照当下数学体系的定义：叫在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。对比一下，一个只提不相交，另一个提法叫“不相离亦不相远，而不得相遇”。有人可能要问，咱们根据直线定义，把直线向两端延长（也即行至无穷），如果不相交，那也就能推出不相离不相远啊，讲那么多干什么呢？
那我就要说了，这就是这本书的风格，风格是什么？是从实践中来到实践中去，什么意思呢？我们在纸上画两条离得比较远的线（我设定得比较极限一些，它们实际不是平行线，夹角为0.0001度），你看，它们暂时还不相交，如果按照“不相交”的提法，那就应当把这两条线无限延长，看它们是否相交，但是，我们要怎样才能确认“不相交”呢？我们只能确认这两条线目前是“暂时不相交”却不能保证它永远不相交啊！有人可能又要说了，我可以证明啊，但是要知道，这里的提法是什么？是平行线的“定义”，你连定义本身的操作都难以界定，你用什么去证明？
那么答案就出来了，怎么确认平行？就是这句话：不相离亦不相远，而不得相遇！这个就是确认“不相交”的途径和方法，是从实践生活中总结出来的行之有效的界定。你只要设法确认两条线确实“不相离亦不相远”，那么它们就是始终不相遇、不相交的，也就说它们平行。
顺便说一下，其实就算是现在的数学体系，不看基本定义只管做题的，也是大有人在！

第三十五界 一形每两边俱平行线，为平行线方形。由于这里给的图例是一个平行四边形（本书叫长斜方形），有人可能就会觉得，这平行线方形和长斜方形不是一回事吗？为什么有两个名字呢？
就我个人理解，确实不是一回事，我就举个例子：正六边形，它确实是每两边俱平行线啊。但是，看第三十六界的内容，这平行线方形还真跟长斜方形是同一个概念……啊这，我想来想去，或许问题出在了“方形”这个概念上，毕竟现代汉语跟文言文脱了点节，查百度百科，说方形又叫矩形，是长方形和正方形的统称。然而几何原本的这个“平行线方形”又是包含长斜方形的，所以定然不是百度百科这个解释。
算了这一界先放一下吧，暂时来说也不是很重要，后面看题碰到再说。
第三十六界 对角线。凡平行线方形，若于两对角作一直线，其直线为对角线。这里其实跟我前一界的想法没有冲突，正六边形的对角作直线也确实是对角线。但是下文就有冲突了，因为下文所介绍的角线方形和余方形，目前看来还是针对四边形而来的。
又于两边纵横各作一平行线，其两平行线与与对角线交罗相遇，即此形分为四平行线方形。其两形有对角线者，为角线方形。其两形无对角线者为余方形。这个界定我就没在西方现行的数学体系里看到了，当然几何原本英文翻译版那个版本里确实有提到，但是后来为什么改着改着就没了呢？我个人推测，因为这两个界定的实际作用并不是很大，最大用处，是在讲解题目的时候让听者更不容易搞错。但是，这仅限于在中文语境之下。角线方形和余方形这两个词非常生动形象，中文使用者一看即知它指的是什么，且非常容易记住。而外文版，为了使用这两个词，还得多记几个单词，对他们那种字母文字来说并不划算，不如直接用平行四边形ABCD来解说，当然这也变相的消解了角线方形和余方形本质上是“形内之形”的本质。