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《周髀算经》中关于勾股定理的证明
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《周髀算经》中关于勾股定理的证明
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2024-4-29 21:55:55
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本帖最后由 astreye 于 2024-4-30 07:03 编辑
原帖:
https://www.bilibili.com/read/cv34207098
总有人说《周髀算经》只给出了“勾三股四弦五”的特例而没给出证明,这其实是古文没读懂。
商高曰:“数之法,出于圆方。圆出于方,方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之外,半其一矩。环而共盘,得成三、四、五。两矩共长二十有五,是谓积矩。故禹之所以治天下者,此数之所生也。”
文本引用自:(
https://ctext.org/zhou-bi-suan-jing/juan-shang/zhs
)
对于勾股定理,其实商高就已经给出证明了。“既方之外,半其一矩,环而共盘”,说的就是对于直角三角形对应的矩形为一矩,半其一矩就是直角三角形的面积是矩形的一半。环而共盘,这个略有些模糊,因为在这句里不知道怎么盘的,这是因为古文为了节约书写材料,在保持无歧义的情况下精简到极致,所以能从上下文推出的内容和常识性内容是不会记录的。环而共盘怎么盘要看其后面的内容。“两矩共长二十有五,是谓积矩”,总矩长25,这是斜边形成的矩的面积,所以盘法就确定了,是以斜边为外边形成的正方形。
我就偷懒用一张古书上的图,但是这个图的画法和勾股弦的数值无关,只要知道勾股弦所确定的直角三角形(既方之外)能通过半其一矩获得即可。
这里又出现一个问题,共盘后总共有四个直角三角形,那么两矩是怎么回事呢?其实把图画出来就明确了,“半其一矩”的直角三角形共盘后有四个,显然和两矩不符,但既然前文说的是“共盘”,那么“共”字并非可有可无,它代表着共盘后的四个直角三角形是一个整体,算作一矩。而另外一矩则只能是边(股-勾)所形成的正方形。四个直角三角形的面积和股勾相减得到的正方形面积为两矩,两矩和为25,“是谓积矩”:这就是弦的积矩。这样我们就得到了公式:4 x半矩(勾股)+ 积矩(股-勾)= 积矩(弦),因式展开一下自然就得到:积矩(勾)+积矩(股)=积矩(弦)。
前面这段写错了,因为我把“积矩”忽略掉了。“积”应取积累堆放之意,所以积矩才是4个直角三角形的半矩与(股-勾)的矩之和。那么译文其实应该是勾的矩与股的矩两矩之和为25,这就是4个直角三角形的半矩与(股-勾)的矩的和。换句话就是通过将4个“勾三股四”的半矩“环而共盘”出一个以弦为边的正方形后,可以得到被文本省略的式子:矩(弦)= 4 x半矩(勾股)+ 矩(股-勾)。而后面“两矩共长二十有五,是谓积矩”,“两矩”应该是“勾矩”和“股矩”,特地强调“积矩”而不是弦矩,这是在说明“勾矩+股矩=弦矩”的同时说明“勾矩+股矩=积矩算式”,古文里不会有废话,在本该是结论的部分写了中间过程“积矩”而非结论“弦矩”只能是因为要说明因式展开的过程。因此《周髀算经》中是通过“弦矩”等于“积矩”,而“积矩”等价于“勾矩与股矩之和”来证明“勾矩与股矩的和等于弦矩”这个定理的。
认为《周髀算经》没证明勾股定理的一定要仔细研究一下古文。
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astreye
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2024-4-29 22:18:15
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我以前也是认为中国只有归纳但没有演绎,无法形成完整的逻辑推导体系。但是今天仔细读了《周髀算经》中这段文字后,我要承认我之前的观点错了。定理证明即为归纳演绎,由测量数据总结规律此为归纳,证明规律并应用于未知,举一反三,此为演绎。《周髀算经》不但给了直角三角形的定义(既方之外,半其一矩)直角三角形是矩形的一半,这样完成了归纳,而后其对勾股定理的证明得到的定理可应用于所有直角三角形,形成演绎。这就具备了科学所需的基本要素,说古代中国没有逻辑体系的可以歇了。
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